Jan Weber hat Rechtswissenschaften studiert und im Jahr 1998 mit seinem zweiten Staatsexamen die Befähigung für das Richteramt erworben. Von 1998 bis 2000 war er als Referent für Inneres und Kommunales bei der SPD-Fraktion tätig, in der Zeit bis 2004 dann als Büroleiter des SPD-Fraktionsvorsitzenden.
Weiterhin arbeitete Jan Weber als Referatsleiter im Innenministerium sowie als Personalleiter und Datenschutzbeauftragter im Justiziariat des Landeskriminalamtes. Seit 2011 war er im Finanzministerium tätig, zuletzt als Leiter der Haushaltsabteilung.
Im Oktober 2022 wurde Jan Weber mit den Stimmen der Regierungsfraktionen zum neuen Mitglied des Landesrechnungshofes gewählt. Die Ernennung durch den Landtagspräsidenten erfolgte Anfang Dezember. Jan Weber tritt die Nachfolge von Rainer Elze an.